Đề bài:
Trong một giải Xổ số Toán học, mỗi tấm vé số là một bộ gồm 5 số tự nhiên không sắp thứ tự (a; b; c; d; e) nằm từ 1 đến 90. Vào ngày ban tổ chức quay số trúng thưởng, ông A và ông B trao đổi với nhau:
A: Ông có biết hôm nay kết quả xổ số là gì không?
B: Trong kết quả 5 số xuất hiện ở vé trúng thưởng, có một “số đặc biệt” là ước của tổng 2 số bất kỳ trong 4 số còn lại!
A: Thế số đó là gì?
B: Tôi mà nói ra thì anh sẽ biết ngay vé số trúng thưởng.
A: Ít nhất thì cũng nói cho tôi số đó là chẵn hay lẻ?
Khi ông B vừa trả lời cho ông A, thì ông A nhảy bật lên sung sướng:
- Tôi trúng xổ số rồi! Thắng rồi! Thắng rồi!
Hỏi “số đặc biệt” là số nào và vé trúng thưởng là bộ gồm 5 số nào?
Bài giải:
1. Sai lầm thường gặp
Với e = 16 ta có bộ số duy nhất là 1 hoán vị của (16 ; 32 ; 48 ; 64 ; 80)
Nguyên nhân sai lầm : Với e = 16 ta còn có bộ số (8 ; 16 ; 24 ; 40 ; 56)
2. Hướng dẫn giải
Không mất tính tổng quát giả sử số đặc biệt là số e. Chú ý 2 giả thiết quan trọng sau đây:
– Nếu cho biết số e thì ta xác định được bộ (a;b;c;d) duy nhất
– Trong 2 trường hợp e chẵn hoặc lẻ thì có 1 trường hợp cho ta duy nhất 1 số e tương ứng với 1 bộ (a;b;c;d) duy nhất
Từ đó suy ra:
Nếu e chẵn thì có thể chỉ ra 2 trường hợp của e đều có bộ nghiệm duy nhất (a;b;c;d) tương ứng
+ ) Với e = 22 thì (a;b;c;d) là 1 hoán vị của ( 11 ; 33 ; 55 ; 77)
+ ) Với e = 24 thì (a;b;c;d) là 1 hoán vị của ( 12 ; 36 ; 60 ; 84)
Như vậy e chẵn bị loại.
Với e lẻ ta có thể chứng minh được các số a ; b ; c ; d cùng phải chia hết cho e. Từ đó suy ra chỉ có duy nhất e = 17 tương ứng với bộ duy nhất (a;b;c;d) là 1 hoán vị của (34 ; 51 ; 68 ; 85 ), và vé trúng thưởng là 1 hoán vị của ( 17 ; 34 ; 51 ; 68 ; 85).
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét